Question

已知函数f(x)=x^2(ax+b)在x=2处取得极值，其图像在点（1，f（1））处的切线与直线3x+y=0平行

a，b属于R
求a，b的值
函数f（x）的单调区间

Answer 1

由函数f(x)=x^2(ax+b)在x=2处取得极值
则 f’（2）= 12a + 4b = 0
由图像在点（1，f（1））处的切线与直线3x+y=0平行
则 f’（1）= 3a + 2b = -3
联立解得 a = 1, b = -3

代入，得 f(x)=x^2(ax+b)=x^3 - 3x^2
此函数的定义域为（-∞，∞）
f’（x）= 3x^2 - 6x
令f’（x）= 0 ，解得 x1 = 0, x2 = 2
由x1 = 0, x2 = 2将（-∞，∞）分成三个区间（-∞，0），（0，2），（2，∞）；
在区间（-∞，0）和（2，∞）上f′(x)>0,所以函数f(x)在区间（-∞，0]和[2，∞）上是单调增加的；在区间（0，2）上f′(x)<0,所以函数f(x)在区间（0，2）上是单调减少的