Question

高手帮忙解决一下，一个关于摩擦力的问题

一个小球在水平桌面上滚动会逐渐停下来，但是如果用力学知识分析，其平动速度只会减小到某一个值的时候就不变了，这却与常识违背，高手帮忙解决一下。我的分析是这样的：
就像打台球一样，如果用中杆将白球打出去，则白球被击出去的一瞬间只有相对于桌面的平动速度V，没有转动速度，由于有相对向前运动，所以会受到向后的滑动摩擦力，速度会减慢。但是这个摩擦力也会使白球逐渐具有转动速度（其方向是白球上与桌面接触的那一点（设为A点）相对白球球心（设为O点）的速度Vao向后，而白球上离桌面最高的那一点（设为B点）相对于O点的速度Vbo向前的），而且只要这个相对于白球向后的摩擦力存在，白球的转动速度就会逐渐增大，以A点来作分析的话，刚开始其相对于O点的速度Vao向后，设其大小Vao＜V，则A点相对于桌面的速度Va=V—Vao＞0，所以A点相对桌面的速度向前，此时有摩擦力，其方向是向后的，这个摩擦力使Vao逐渐增大，由于能量守恒，转动速度Vao增大，转动动能增大了，则平动动能会减小，所以V逐渐减小，所以前期的过程是由于A点相对桌面的速度向后，受到滑动摩擦力（只要Vao＜V，这个滑动摩擦力就存在）的作用，导致转动速度增大，而平动速度减小;但是当转动速度Vao增大到与V相等的时候，A点相对于桌面的速度Va=V—Vao=0，此时白球上唯一与桌面接触的一点A点与桌面的相对运动速度为0了，没有滑动摩擦力了。再看是否有静摩擦力，先看有无相对运动趋势，如果有相对运动趋势，则当桌面是光滑的时候，A点会相对于桌面运动，而这个问题中，既然此时A点相对桌面的速度Va为0，所以即使桌面光滑，A点也不会相对于桌面运动，所以A点相对桌面已无相对运动趋势，所以此时A点已不再受到任何摩擦力的作用了，即整个白球水平方向受力为0，平动速度和转动速度都已没有理由再改变，只能维持现状继续运动下去了（当然假设没有碰到边界或者其他物体），就像我开篇说的，小球速度只会减小到某一个值就不变了，这样的话小球不会停下来，这岂不是与常识违背吗？高手帮忙解决一下。

Answer 1

仁兄，后面你假设桌面光滑是不正确的，虽然你的目的是想描述一个极限的情况，但是，要知道如果桌面是光滑的话，白球根本就不会转动！

白球转动，你可以试着用力矩来分析一下，因为在有摩擦的情形下，摩擦力与刚开始的那个瞬间撞击力并不是共点力，所以会产生一个转动力矩。而分析转动的时候，最好的方法是用力矩来分析，而不是用力。另外，能量的转化你也少计算了一部分，平动动能固然是要转化为转动动能的，但不是全部，还有一部分被摩擦力耗散掉了。所以即便你后来分析到Va=0也不能说明就没有摩擦力了。为什么呢？因为Va不是质心速度，相当于对于一个体系而言，Va那里算是体系里边的一个局部，就像在行使的火车走路，人与火车相对静止了，没有摩擦力了，但是你却不能根据这点说火车与铁轨之间没摩擦力了……

这个问题你主要的悖论点在于受力分析的混乱性，你开始定义出A、O、B三点，实际上就已经把整个球看成一个体系了，分析A是体系的一个局部，之后你又把局部概念强加到整体上去了。。。

实际上你写出方程来分析，把平动动能和转动动能以及摩擦力耗散写出来就一目了然了。

摩擦力f=μN，力矩M=μmgr，转动动能E=0.5Jω²，实心球转动惯量J=2mr²/5，∫Mdθ=0.5Jω²

【你下线了呀？我刚睡着了。】你把局部与整体混淆了。摩擦力矩中，摩擦力的施力物自然是桌面，相对运动趋势是指A和O之间，事实上你的那个A点不是固定的一个点啊。它指的是那个位置而已。你分析到Va=0的时候，Vo≠0，这和球刚开始运动的时候不是一样的吗？你说所有点的速度都是V是什么意思？那是说点对地面的速度，而你后面分析的那个旋转速度Va实际上是相当于对于质心的速度，假设球旋转的角速度是ω的话，Va=ωr不是？

Answer 2

分析了这么多，你是循环在自己的假设中，你的两个假设是相互矛盾的

首先你假设是存在摩擦 ，你同时又假设了机械能守恒。这就是一对矛盾

既然有摩擦，那么势必有一部分的能量转化成内能 ，最终球停下来是所有的机械能转换成了内能。而不只是你说的平动动能和转动动能之间的转化了

你在分析如何从平动转换成转动这部分没有太大的问题，为题是不管平动还是转动，只要摩擦力产生了 ，那么摩擦力就会做功，这就是为什么球会慢慢的停下来的原因。
你认为如果球没有发生平动，而只是转动，那么球就不会受到摩擦力。
但是实际情况是球有重量，桌面也不可能是刚体，在球滚动的过程中会形变，微观分析这个过程你就会发现球在滚动过程中由于重力会把前面的球面压下去，而同时桌面会给一个向圆心的阀作用力，这样球慢慢听下来

Answer 3

如果桌面是光滑的，那么小球将不受摩擦力，速度减缓是有空气阻力啊。

如果空气阻力也没有，桌面又是光滑的，那么小球确实会一直水平运动下去，这个用动量守恒或能量守恒定律都能解释的。

现实是不可能出现这样情况的，所以么有意义。

Answer 4

分析问题有几个地方需要注意：
1.明确你的分析对象，也就是你研究的系统需要确定，过程中到底那些物体干成了你的系统，是球，还是球+台面，还是球+台面+空气。前两个系统是可以用能量守恒吗？
2.明确你的假设，假设需要一致。
3.然后才是合理的逻辑

其实很简单，问你几个基本问题：
1.研究对象到底是什么，是小球吗?那到底小球转不转？
如果一直不转，那需要没有任何摩擦，属于理想状态。
如果转动，由于转动需要力来改变运动状态（至少速度方向改变），那该力一致与平动方向垂直吗？会消耗能量吗?

想明白这些答案就出来了

Answer 5

如果是理想状态，的确会象你所说的，达到平衡后会一直运动下去。但问题是，现实情况不是理想的，会有摩擦存在，这会损耗小球的能量，小球最终会停下来。