Question

两道高中数学题,似乎有点难,是高手的进来帮帮忙忙！

1.证明tanα·sinα/tanα-sinα=tanα+sinα/tanα·sinα

2.已知函数f(x)=log 1/2 cos(x/3+π/4)
⑴求f(x)的定义域
⑵求f(x)的单调区间
⑶证明直线x=9π/4是函数f(x)图像的一条对称轴

Answer 1

解答：

1、证明：（tanα·sinα）/（tanα-sinα）
=(sinα/cosα)·sinα/(sinα/cosα-sinα)
=(sin²α/cosα)/(sinα/cosα-sinα)
=sin²α/(sinα-sinαcosα)
=(1-cos²α)/(sinα-sinαcosα)
=[(1+cosα)(1-cosα)]/[sinα(1-cosα)]
=(1+cosα)/sinα
=(sinα+sinαcosα)/sin²α
=(sinα/cosα+sinα)/(sin²α/cosα)
=(tanα+sinα)/(tanα·sinα)
故原等式得证.

2、（1）∵函数f(x)=log 1/2 cos(x/3+π/4)
∴cos(x/3+π/4) ＞0
∴2kπ-π/2＜x/3+π/4＜2kπ+π/2
∴2kπ-π/2-π/4＜x/3＜2kπ+π/2-π/4
∴6kπ-9π/4＜x＜6kπ+3π/4
故f(x)的定义域为（6kπ-9π/4，6kπ+3π/4）（其中k=0，±1，±2...）

（2）令y= cos(x/3+π/4) ，
则x/3+π/4=2kπ
∴x=6kπ-3π/4
∴函数y= cos(x/3+π/4)在（6kπ-9π/4，6kπ-3π/4）上单调递增，在[6kπ-3π/4,6kπ+3π/4)单调递减
由于函数f(x)的内层函数单调递减，
故f(x)的单调递增区间为:[6kπ-3π/4,6kπ+3π/4),单调递减区间为：（6kπ-9π/4，6kπ-3π/4），

（3）f（x+9π/4）=log 1/2 cos[(x+9π/4）/3+π/4) ]=log 1/2 cos(x/3+7π)=log 1/2 cos（x/3+π）=log 1/2 [-cos（x/3）]
f（x-9π/4）=log 1/2 cos[(x-9π/4）/3+π/4) ]=log 1/2 cos（x/3-π/2）=log 1/2 sin（x/3）
∵f（x+9π/4）+f（x-9π/4）=0
∴直线x=9π/4是函数f(x)图像的一条对称轴.

Answer 2

这题不难 自己想
会公式不

可以告诉你 但 你还是不会
自己想想 不难 多练练