Question

已知数列an为等比数列，且a1等于4。公比为q, 前n项和为Sn, 若数列Sn+2也是等比数列，则

已知数列an为等比数列，且a1等于4。公比为q, 前n项和为Sn, 若数列Sn+2也是等比数列，则q为多少

Answer 1

当q=1时，有Sn=4n，易知4n+2不为等比数列。
当q≠1时，Sn=4(1-q^n)/(1-q)
因Sn+2为等比数列，于是有
(S1+2)(S3+2)=(S2+2)^2
也就是(4(1-q)/(1-q)+2)(4(1-q^3)/(1-q)+2)=(4(1-q^2)/(1-q)+2)^2
化简有：6(6+4q+4q^2)=(6+4q)^2等价于3(3+2q+2q^2)=(3+2q)^2
即9+6q+6q^2=9+12q+4q^2
即2q^2=6q，由于an为等比数列，所以q≠0
所以q=3