Question

正整数a和b使得ab＋1整除a²＋b²,求证：a²＋b²/ab＋1是某个正整数的平方

Answer 1

1. 若a=b,则(a²＋b²)/(ab＋1)=2a²/(a²+1)

   1=(a²+1)/(a²+1)≤2a²/(a²+1)<(2a²+2)/(a²+1)=2

   而2a²/(a²+1)为正整数，所以2a²/(a²+1)=1为1的平方。此时a=b=1

2. 若a≠b,不妨设a>b,设a=tb,t>1,b≥1

   (a²＋b²)/(ab＋1)=[(a/b)²+1]/(a/b+1/b²]=(t²+1)/(t+1/b²)

   t-1=(t²-1)/(t+1)<(t²+1)/(t+1/b²)<(t²+t)/t=t+1

   所以只能是(t²+1)/(t+1/b²)=t

   即t²+1=t²+t/b²

   t=b²

   (a²＋b²)/(ab＋1)=(t²+1)/(t+1/b²)=t=b²是正整数b的平方

   综上，a²＋b²/ab＋1是某个正整数的平方

    

    

追问

请用阿拉伯数字，别用字符

追答

您这句话"请用阿拉伯数字，别用字符"是什么意思？你的题目里用的就是字符a,b

Answer 2

有个问题，t为整数吗