Question

如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8BC=6,D是AB中点,E是BC边上的动点圆O过C、D、E三点，与AC边交于点F

（1）求线段EF长的最小值（2）当圆O与AB边相切时，求圆O的半径（3）求线段CF长的取值范围

Answer 1

1
由于圆恒过CD两点，所以圆缩到最小时候，恰好CD是圆的直径，
而且CE垂直于CF，所以EF等于圆的直径，当圆最小时候，EF最小，
EF(min)=CD=5
2
连接OD，l连接OP，则OD垂直于AB，OP垂直平分CD。P为CD中点。所以PD=5/2
sinA=3/5, sin2A=2sinAcosA=24/25
r=OD=PD/cosODC=PD/sinCDB=PD/sin2A=125/48

3
由于四边形CEDF始终内接于圆，所以ED始终垂直于FD。D不动，EF运动可得，
当E点与B点重合时，CF最小，此时，圆外接与三角形CBD，得到半径
r=1/2(BC/sinCDB)=1/2(6/sin2A)=25/8.，三角形CDB中很容易求出，
CF(min)=2(o到BC距离）=2x7/8=7/4

当E点运动到C时，CF最大。此时，仍有DF垂直于DC，
很容易求出CF=25/4

所以7/4<=EF<=25/4

Answer 2

答案：自己算