Question

若实数f(x)=a-1/x(a∈R)在[m,n](m<n)上的值域也是[m,n],则a取值范围_____

为啥是f(m)=m,f(n)=n而不能f(m)=n,f(n)=m?可是f(x)并不单调递增吧?

Answer 1

f(x) 单调递增的
因为1/x在(-∞,0)和(0,+∞)上都是单调递减
而-1/x在这两个开区间上都是单调递增
从而f(x)=a-1/x这两个开区间上也是单调递增
从值域[m,n]可知 x=0不在其定义域内, 所以要么m,n都大于0,要么都小于0
根据函数单调性可知f(m)=m,f(n)=n

即 a-1/x=x 有两个不等的实数根,且两根同号
同乘x得到 x²+ax+1=0 有两个不等的实数根
二次函数判别式 a²-4>0 得到 a的取值范围(-∞,-2)a∪(2,+∞)