Question

抽象函数问题的几种求解意识

Answer 1

抽象函数问题是指没有以显性形式给出函数解析式，只给出函数记号及其满足的相关条件（如函数的定义域、经过某些特殊点、部分图象特征、某些运算性质等）的函数问题。它是高中数学函数部分的难点，也是与大学高等数学的衔接点，从而也就成为了高考中的一个热点与难点。但很多学生对这类问题颇感困惑，不知从何下手，本文总结了几条求解此类问题的思维意识，以期使学生的思维具有较好的方向性和目的性，从而提高解题能力。一、特殊化意识认真观察与分析抽象函数问题中的已知与未知的关系，巧妙地对一般变量赋予特殊值，或把函数赋予特殊函数等，从而达到解决问题的目的，这是常用的思维意识。 1、赋特殊值 例1. 设函数，对任意实数、满足。（1）求证：；（2）求证：为偶函数；（3）已知在上为增函数，解不等式。证明：（1）令，得，故；令，得，故。（2）令，得；令，得，所以，即为偶函数。（3），即，或，由（2）和在上为增函数，可得，解得且。 2、赋特殊函数 例2. 对于任意的函数，在同一个直角坐标系中，函数与函数的图像恒（ ）（A）关于x轴对称（B）关于直线对称（C）关于直线对称（D）关于y轴对称解：取函数，则，这两个函数是同一个函数，它们的对称轴为，故选（B）。二、递推意识根据题目中所给出的或推出的函数方程，运用递推的思想，逐步递推，达到目的。 例3. 已知是定义在R上的函数，，且对于任意都有，若________。解：由，和，从而由题设有，。故。即，所以是以1为周期的周期函数。又，所以。三、换元意识根据题目结构特点及欲证的结论，将题中的某些量替换成所需的量（注意：应使函数的定义域不发生改变，有时还需要作几次相应的替换），得到一个或几个方程，然后设法从中求其解。 例4. 若函数的定义域为，求函数的定义域。解：设，因为的定义域为，所以，则的定义域是。又令得即的定义域是。四、化归意识有些抽象函数与函数的单调性、奇偶性、对称性等性质联系密切，求解这类问题应充分理解题意，综合运用函数知识和函数思想，将其转化到熟悉的问题中来。 例5. 已知定义在R上的函数满足：（1）对于任意都有；（2）当时，，且。求在上的最大值和最小值。解：任取，由条件（1）得，所以，因为，由条件（2）得，所以，所以在上单调递减。在（1）中令，得，所以，再令，得，所以，从而为奇函数，因此，上的最大值为，最小值为。五、类比意识即通过联想符合题设条件的特殊函数，将其相关性质或特征类比推广到抽象函数，并予以证明与应用。 例6. 设函数的定义域为R，对于任意实数m、n，总有，且。（1）求的值；（2）判断在R上的单调性，并证明你的结论；（3）设，，a、b、c，a、b不同时为零，若，确定实数a、b、c三者之间的关系。分析：根据所给条件，易联想到符合题设的指数函数，从而问题（1）、（2）的求解方向就十分明确了，当然这只是猜测，还需要严格证明。解：（1）因为对于任意实数m、n总有，所以令，得，又时，，故，从而有。（2）首先注意到，当时，，从而，设，则，即，故是R上单调递减函数。（3）由，知，从而，它表示单位圆的内部；由，知；而，故直线和圆的内部没有公共点，即直线和圆相切或相离，从而有。