Question

关于定积分的一个问题

关于定积分的定义，高数里是这样定义的： 设函数f(x)在区间[a，b]上有定义，任取分点……(作积、作合式)，如果无论对区间[a,b]采取何种分法，也不论ξ在[x(i-1),x(i)]中如何取法，只要取极限后和式都趋于确定的极限值I，则称此极限I为函数f(x)在区间[a，b]上的定积分。 而在高中课本内，定积分的定义在给出时，要求将区间[a，b]等分成若干个子区间，然后作积、作和式、取极限。 前者要求和式极限与对区间的分法无关，后者定义时取其中的特殊情况，即要求等分，这样的定义是否严谨？也就是说，是否存在某个函数，当你对区间的分法不同时，和式的极限也不同？ 望有人能告诉我，感激不尽。

Answer 1

例如求曲边梯形的面积吧。首先作n等分，再作积、作和，取极限。这时曲边梯形的面积可表达成lim（n趋于无穷）[Σf(ξi)△xi]，或者lim（λ趋于0）[Σf(ξi)△xi]，（λ=max△xi）。由于等分，当n趋于无穷或λ趋于0都能够表示划分无穷细。而现在作任意划分(不一定要等分，为了与上面区别，这里假设是不等分)。由于不是平均等分，n趋于无穷大仅能表示在某处划分越来越细（分点n趋于无穷），但是在别处划分可以不越来越细。此时n趋于无穷就不能刻画出对曲边梯形的划分无穷细。而λ趋于0，即表示所有小区间中最大的那个区间趋于0，小的也就趋于0了。能说明划分越来越细。所以在不等分的情况下，lim（n趋于无穷）[ 求和f(ξi)△xi]是不对的，只能用lim（△xi趋于0）[ 求和f(ξi)△xi]。而在等分的情况下，可以用lim（n趋于无穷）[ 求和f(ξi)△xi]表示待求曲边梯形的面积。定积分实际上是任意划分区间、任意取点的，而等分只是其中的一种情况。

Answer 2

不同分法，和式的极限相同。
高中课本等分是为了便于理解，求极限也方便。
高中的等分方法有叫“矩形发”，把图形分割成若干个等宽的小矩形。把这些小矩形求和式的极限。

Answer 3

你大一？