Question

在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=1/2∠CAB.

如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=1/2∠CAB.（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB=5，sin∠CBF=√5/5，求BC和BF的长.

这道题求出BC=2√5，BF=20/3
不知是否与题设矛盾，好像用其它方法求出的答案不对。

Answer 1

1、连接AE
∵AB是直径，那么∠AEB=90°
即AE⊥BC
∵AB=AC
∴∠BAE=∠CAE(等腰三角形底边上高，中线和顶角的平分线三线合一）
即∠BAE=1/2∠CAB ，BE=CE=1/2BC
∵∠CBF=1/2∠CAB.
∴∠BAE==∠CBF
∵∠BAE+∠ABE=90°
∴∠CBF+∠ABE=90°
即∠ABF=90°
∴AB⊥BF，即直线BF是⊙O的切线
2、∵∠BAE==∠CBF
∴sin∠BAE=sin∠CBF=√5/5
那么BE/AB=sin∠BAE=sin∠CBF=√5/5
BE/5=√5/5
BE=√5
∴BC=2BE=2√5
做CM⊥BF于M
∴sin∠CBF=CM/BC
CM=BC×sin∠CBF=2√5×√5/5=2
那么BM=√(BC²-CM²)=√[(2√5)²-2²]=4
∵AB⊥BF。CM⊥BF
那么AB∥CM
∴△FCM∽△FBA
∴CF/FA=CM/AB=2/5
即CF/(5+CF)=2/5
CF=10/3
那么CF/AC=(10/3)/5=2/3
∴FM/BM=CF/AC=2/3
FM/4=2/3
FM=8/3
∴BF=BM+FM=4+8/3=20/3