Question

已知圆C过点P(1,1),且与圆M(x+2)^2+(y+2)^2=r^2 (r>0)关于直线x+y+2=0对称

2）设Q为圆c上的一个动点，求向量PQ*向量MQ的最小值。

Answer 1

(1)设点M(-2,-2)关于直线x+y+2=0的对称点为C(a,b)
那么直线CM的斜率为(b+2)/(a+2)，CM的中点坐标为((a-2)/2,(b-2)/2)
所以就有：(b+2)/(a+2)*(-1)=-1，(a-2)/2+(b-2)/2+2=0
解得：a=0，b=0，所以点C的坐标为(0,0)，那么圆C的方程为x²+y²=r²，
将点P(1,1)代入方程中，得：1+1=r²，所以r²=2，所以圆C的方程为x²+y²=2
(2)P(1,1)，M(-2,-2)，Q(x,y)
那么向量PQ=(x-1,y-1)，向量MQ=(x+2,y+2)
所以向量PQ*向量MQ=(x-1)(x+2)+(y-1)(y+2)
=x²+x-2+y²+y-2
=(x²+y²)+(x+y)-4
而点Q在圆C上，所以x²+y²=2，所以原式=(x+y)-2
设x=√2*sina，y=√2*cosa (-π/2≤a≤π/2)
所以原式=√2*sina+√2*cosa-2
=2*(√2/2*sina+√2/2*cosa)-2
=2sin(a+π/4)-2
因为-π/2≤a≤π/2，所以-π/4≤a+π/4≤3π/4
所以-√2/2≤2sin(a+π/4)≤1，所以-√2-2≤原式≤0
所以原式的最小值为-2-√2

望采纳

追问

设x=√2*sina，y=√2*cosa (-π/2≤a≤π/2)为什么要这样设
所以原式=√2*sina+√2*cosa-2

追答

这个就是参数方程啊，对于x²+y²=r² (r>0)，那么就可以设x=rsina，y=rcosa (-π/2≤a≤π/2)

追问

我没学到参数方程,有另解吗

追答

额，那线性规划学了没？

Answer 2

(1) P点关于x+y+2=0的对称点为：（-1，-3），由题意可知这个点在圆M上代入方程
求出r²=1+1=2,也就是说圆C的半径r²=2，M点（-2，-2）关于x+y+2=0的对称点为原点，也是C点
所以圆C的方程为：x^2+y^2=2

(2 )可以用参数方程：设Q的坐标为：（√2cosθ，√2sinθ）
PQ=（√2cosθ-1，√2sinθ-1) MQ=（√2cosθ+2，√2sinθ+2)
PQ×MQ=2cos²θ-2+√2cosθ+2sin²θ-2+√2sinθ=√2sinθ+√2cosθ-2=2sin(θ+π/4)-2
所以最小值为-4

追问

为什么要设Q的坐标为那些

追答

不设Q，怎么知道PQ,MQ,怎么求

Answer 3

设Q为（x,y）向量PQ点击向量MQ=（1-
x,1-y）·(-2-x,-2-y)=x2+y2+x+y-2∵x2+y2=2∴原式=x+y-2设该式=z再用线性规划d=l-2-zl/√2=√2z=0或z=-4

Answer 4

：(1)设圆心C(a，b)，则
解得
则圆C的方程为x
2
＋y
2
＝r
2
.
将点P的坐标代入得r
2
＝2，
故圆C的方程为x
2
＋y
2
＝2.
(2)设Q(x，y)，则x
2
＋y
2
＝2，
且·＝(x－1，y－1)(x＋2，y＋2)＝x
2
＋y
2
＋x＋y－4＝x＋y－2，
所以·的最小值为－4(可由线性规划或三角代换求得)．