Question

已知函数f (x )对一切实数x y都满足f(0)≠0f(x+y)=f(x)f(y)

已知函数f (x )对一切实数x y都满足f(0)≠0f(x+y)=f(x)f(y)且当x<0时，f(x)>1求证：（1）当x>0,0<f(x)<1;(2)f(x)在x∈R上是减函数

Answer 1

易证该函数为减函数，且f(0)=1. 则当x>0时，f(x)<1.
对任意x有f(x)=f(x/2)^2>0, 则当x>0,0<f(x)<1。
这里f(x)也不会等于0.否则f(2x)=f(x)^2=0,则不是减函数了。

Answer 2

（1）f(x+y)=f(x)f(y)
令x=y=0
f(0)=f(0)f(0) f(0)≠0 f(0)=1
设x>0 y=-x<0 f(-x)>1
f(0)=f(x)f(-x)=1 f(x)=f(0)/f(-x) f(-x)>1 所以 0< f(x)<1
(2)
设y>0
则x+y>x
f(x+y)-f(x)=f(x)f(y)-f(x)=f(x)((f(y)-1)
由题意及（1）知，在x∈R f(x)>0 y>0 0<f(y)<1
所以f(x)((f(y)-1)<0
即对任意x+y>x 均有f(x+y)<f(x)
所以是减函数

Answer 3

你好！

令 y=0
f(x+0) = f(x) +f(0)
所以 f(0) = 0
令 y = - x
f(x-x) = f(x) + f(-x)
f(0) = f(x)+f(-x)
f(x)+f(-x) = 0
f(-x) = - f(x)
所以 f(x)是奇函数

追问

不要复制粘贴的谢谢 题都对不上