Question

f(x+y)=f(x)+f(y)，当x>0时有f(x)>0. 求证f(x)在R上是增函数。

如题

Answer 1

解由f(x+y)=f(x)+f(y)，
令x=y=0
得f(0+0)=f(0)+f(0)
即f(0)=2f(0)
即f(0)=0
用-x代替y代入得
f（x-x）=f（x）+f（-x）
即f（x）+f（-x）=f（0）=0
即f（-x）=-f（x）
设x1，x2属于R，且x1＜x2
则f(x1)-f(x2)
=f(x1)+f(-x2)
=f(x1-x2)
=f[-(x2-x1)]
=-f(x2-x1)
由x1＜x2
得x2-x1＞0
又由当x>0时有f(x)>0
得f（x2-x1）＞0
即-f(x1-x2)＜0
即f(x1)-f(x2)＜0
即f（x1）＜f(x2)
即f(x)在R上是增函数。

Answer 2

令y=△x>0，则有：
f(x+△x)=f(x)+f(△x)，即：f(△x)=f(x+△x)-f(x)
因△x>0，故：f(△x)=f(x+△x)-f(x)>0
根据单调性判断的定义，知f(x)在R上是增函数