Question

（2012天津）已知抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a＜b）

（2012天津）已知抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0，y0），点A（1，yA）、B（0，yB）、C（-1，yC）在该抛物线上． （Ⅰ）当a=1，b=4，c=10时 ①求顶点P的坐标； ②求 yA yB-yC 的值； （Ⅱ）当y0≥0恒成立时，求 yA yB-yC 的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）若a=1，b=4，c=10，此时抛物线的解析式为y=x2+4x+10。 ①∵y=x2+4x+10=（x+2）2+6，∴抛物线的顶点坐标为P（－2，6）。 ②∵点A（1，yA）、B（0，yB）、C（－1，yC）在抛物线y=x2+4x+10上， ∴yA=15，yB=10，yC=7。∴。 （Ⅱ）由0＜2a＜b，得。 由题意，如图过点A作AA1⊥x轴于点A1， 则AA1=yA，OA1=1。 连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D， 则BD=yB－yC，CD=1。 过点A作AF∥BC，交抛物线于点E（x1，yE），交x轴于点F（x2，0）。 则∠FAA1=∠CBD。∴Rt△AFA1∽Rt△BCD。 ∴ ，即。 过点E作EG⊥AA1于点G，易得△AEG∽△BCD。 ∴，即。 ∵点A（1，yA）、B（0，yB）、C（－1，yC）、E（x1，yE）在抛物线y=ax2+bx+c上， ∴yA=a+b+c，yB=c，yC=a－b+c，yE=ax12+bx1+c， ∴，化简，得x12＋x1－2=0， 解得x1=－2（x1=1舍去）。 ∵y0≥0恒成立，根据题意，有x2≤x1＜－1。 则1－x2≥1－x1，即1－x2≥3。 ∴的最小值为3。