Question

已知函数fx=(ax^2+x)e^x，其中e是自然数的底数，a∈R。(1)当a小于0时，解不等式f

x大于0；(2)若fx在【-1,1】上是单调递增函数，求a的取值范围；(3)当a=0时，求整数k的所有值，使方程fx=x+2在【k,k+1】上有解。

Answer 1

∵e^x>0,f(x)>0

∴ax^2+x>0
∴ax(x+1/a)>0
解得x∈(0,-1/a）
求导f'(x)=（ax^2+x）'(e^x)+(e^x)'(ax^2+x)
=（2ax+1）(e^x)+(e^x)(ax^2+x)
=2axe^x+e^x+ax^2e^x+xe^x
=e^x(ax^2+x+2ax+1)
依题意，可知在区间[-1,1]上，f'(x)>0
∵e^x>0,∴令g(x)=ax^2+(2a+1)x+1>0
①a=0，则x+1>0,x>-1,符合题意
②a>0,则g(x)开口向上
对称轴-1-1/2a<-1
∴g(-1)=a-2a-1+1=-a>0
∵a>0,∴-a<0
不合题意，舍去
③a<0,则g(x)开口向下
∴g(-1)≥0,g(1)≥0
∴-a≥0,3a+2≥0
∴-2/3≤a<0
综上所述,a∈[-2/3,0]
∵令F(x)=x(e^x)-x-2
F（x）在在[K,k+1]上有解
F'(x)=e^x+xe^x-1
∵F'(x)在（0，+∞）上大于0，在（-∞，0）上小于0
所以F（x）在区间（0，+∞）上递增，在区间（-∞，0）递减
F（0）=-2<0
∴F（x）=0有两个解,分别在区间（0，+∞）和（-∞，0）上
F(1)=e-3<0,F（2）=2e^2-4>0
F(-1)=-1/e-1<0,F(-2)=-2/e^2<0,F(-3)=-3/e^3+1>0
∴F（x）=0的两个解分别在区间(1,2)和(-3,-2)
所以K=1或-3

追答

1∵e^x>0,f(x)>0

∴ax^2+x>0
∴ax(x+1/a)>0
解得x∈(0,-1/a）
2求导f'(x)=（ax^2+x）'(e^x)+(e^x)'(ax^2+x)
=（2ax+1）(e^x)+(e^x)(ax^2+x)
=2axe^x+e^x+ax^2e^x+xe^x
=e^x(ax^2+x+2ax+1)
依题意，可知在区间[-1,1]上，f'(x)>0
∵e^x>0,∴令g(x)=ax^2+(2a+1)x+1>0
①a=0，则x+1>0,x>-1,符合题意
②a>0,则g(x)开口向上
对称轴-1-1/2a0
∵a>0,∴-a0
F(-1)=-1/e-10
∴F（x）=0的两个解分别在区间(1,2)和(-3,-2)
所以K=1或-3