高中数学竞赛简单平面几何问题
给定等腰△ABC,AB=AC，圆O与AB、AC相切，P是弧BC(P在△ABC内)，R在PB上，PR=PC，AR∩PC=Q。求证：(1)AQ/QR为定值。(2)∠BQC为定...
给定等腰△ABC,AB=AC，圆O与AB、AC相切，P是弧BC(P在△ABC内)，R在PB上，PR=PC，AR∩PC=Q。
求证：(1)AQ/QR为定值。
(2)∠BQC为定值。 展开
求证：(1)AQ/QR为定值。
(2)∠BQC为定值。 展开
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(1)延长BP，交AC于S
由梅涅劳斯定理，CPQ截△ARS，有AQ/QR*RP/PS*SC/CA=1
从而AQ/QR=(PS*AC)/(PR*CS)=(PS*AC)/(PC*CS)
又△PSC∽△CSB 所以PS/CS=PC/CB 即PS*BC=PC*CS
因此AQ/QR=(PS*AC)/(PS*BC)=AC/BC为定值
(2)作角C的平分线交AB于T，连TQ
由角平分线定理AT/TB=AC/CB=AQ/QR
因此TQ平行于BR，因此角ATQ=角ABR=角PCB，
所以T、Q、B、C四点共圆，所以角BQC=角BTC为定值
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