Question

急求以下高三奥赛数学题答案,要求有步骤！！！！

1.x>0，y>0，a＝x+y，b＝√（x²+xy+y²),c=m√xy
求是否存在正数m，使对任意正数x,y可便a,b,c为三角形的三边构成三角形，求m
2.a>0,b>0求证:
1\(a+b)+1/(a+2b)+…+1/(a+nb）<n/√(a+0.5b)(a+(n+1)/2b)

Answer 1

一、x>0，y>0，a＝x+y，b＝√（x²+xy+y²),c=m√xy
求是否存在正数m，使对任意正数x,y可便a,b,c为三角形的三边构成三角形，求m。
【解答】：
①∵a^2=x^2+2xy+y^2> b^2=x²+xy+y²
∴a>b，∴a+c>b恒成立
②|a-c|<b
即：√(x²+xy+y²)>|x+y-m√xy|
平方得：x^2+xy+y^2>(x^2+2xy+y^2)-2m(x+y)√xy+m^2xy
整理得：(m^2+1)xy<2m(x+y)√xy
即：(m^2+1)√xy <2m(x+y)
∵2m(x+y)≥4m√xy
∴4m>m^2+1
解得：2-√15<m<2+√15
所以0<m<2+√15<6

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二、a>0,b>0求证：1\(a+b)+1/(a+2b)+…+1/(a+nb）<n/√(a+0.5b)(a+(n+1)/2b)
【解答】：
∵{(a+b+……+m)/n}＾2≤(a^2+b^2+……+m^2）/n
∴(a+b+……+m)＾2≤n(a^2+b^2+……+m^2)
∴[1/(a+b)+1/(a+2b)+……+1/(a+nb)]＾2
＜n{[1/(a+b)]＾2+[1/(a+2b)]＾2+……+[1/(a+nb)]＾2}
＜n{1/[(a+1/2b)(a+b)]+1/(a+b)(a+2b)+……+ 1/[a+(n-1)b](a+nb)}
＜(n/b)×{1/(a+1/2b)-1/(a+b)+1/(a+b)-1/(a+2b)+1/(a+3b)-1/(a+4b)……+1/[a+(n-1)b]-1/(a+nb)}
＜(n/b)×{1/(a+1/2b)-1/(a+nb)}
＜(n/b)×{1/(a+1/2b)-1/(a+nb+1/2b)}
=(n/b)×nb/[(a+1/2b)(a+nb+1/2b)]
=n^2/[(a+1/2b)(a+nb+1/2b)]
＜n^2/{(a+1/2b)[a+(n+1)/2b]}
∴[1/(a+b)+1/(a+2b)+……+1/(a+nb)]＾2＜n^2/{(a+1/2b)[a+(n+1)/2b]}
1/(a+b)+1/(a+2b)+……+1/(a+nb)>0
n/√(a+0.5b)(a+(n+1)/2b)>0
∴1/(a+b)+1/(a+2b)+……+1/(a+nb)< n/√(a+0.5b)(a+(n+1)/2b)

得证。

Answer 2

1.显然a>b，所以a b c构成三角形当且仅当a-b<c<a+b
即x+y-√（x²+xy+y²)<m√xy <x+y+√（x²+xy+y²)
这个式子对于任意x,y>0成立，所以首先必须m√xy <x+y+√（x²+xy+y²)
而很容易用均值不等式证明x+y+√（x²+xy+y²)/√xy 的最小值是2+√3
所以必须有m<2+√3。其次，x+y-√（x²+xy+y²)<m√xy，也就是1/m<x+y+√（x²+xy+y²)/√xy。同理有1/m<2+√3,m>2-√3
所以，m的取值范围是2-√3<m<2+√3。比如说取m=2就能满足要求了

2.首先不妨设b=1(如果怀疑这一点，可以令a/b=c，则不等式两边同时消去b，得到一样的结果)，那么就是要证明
1/(a+1)+1/(a+2)+…+1/(a+n）<n/√(a+1/2)(a+(n+1)/2)
为了消去根号，对左边用柯西不等式放缩：
(1/(a+1)+1/(a+2)+…+1/(a+n）)^2<=n(1/(a+1)^2+1/(a+2)^2+…+1/(a+n）^2)
所以，只要证明
1/(a+1)^2+1/(a+2)^2+…+1/(a+n）^2<n/(a+1/2)(a+(n+1)/2=2(1/(a+1/2)-1/(a+(n+1)/2)）

这启发我们证明1/(a+k)^2<2(1/(a+k/2)-1/(a+(k+1)/2)）
那么对上式从k=1,2,...n求和就行了。而上式很容易证明，故命题得证

Answer 3

一、x>0，y>0，a＝x+y，b＝√（x²+xy+y²),c=m√xy
求是否存在正数m，使对任意正数x,y可便a,b,c为三角形的三边构成三角形，求m。
【解答】：
①∵a^2=x^2+2xy+y^2> b^2=x²+xy+y²
∴a>b，∴a+c>b恒成立
②|a-c|<b
即：√(x²+xy+y²)>|x+y-m√xy|
平方得：x^2+xy+y^2>(x^2+2xy+y^2)-2m(x+y)√xy+m^2xy
整理得：(m^2+1)xy<2m(x+y)√xy
即：(m^2+1)√xy <2m(x+y)
∵2m(x+y)≥4m√xy
∴4m>m^2+1
解得：2-√15<m<2+√15
所以0<m<2+√15<6

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二、a>0,b>0求证：1\(a+b)+1/(a+2b)+…+1/(a+nb）<n/√(a+0.5b)(a+(n+1)/2b)
【解答】：
∵{(a+b+……+m)/n}＾2≤(a^2+b^2+……+m^2）/n
∴(a+b+……+m)＾2≤n(a^2+b^2+……+m^2)
∴[1/(a+b)+1/(a+2b)+……+1/(a+nb)]＾2
＜n{[1/(a+b)]＾2+[1/(a+2b)]＾2+……+[1/(a+nb)]＾2}
＜n{1/[(a+1/2b)(a+b)]+1/(a+b)(a+2b)+……+ 1/[a+(n-1)b](a+nb)}
＜(n/b)×{1/(a+1/2b)-1/(a+b)+1/(a+b)-1/(a+2b)+1/(a+3b)-1/(a+4b)……+1/[a+(n-1)b]-1/(a+nb)}
＜(n/b)×{1/(a+1/2b)-1/(a+nb)}
＜(n/b)×{1/(a+1/2b)-1/(a+nb+1/2b)}
=(n/b)×nb/[(a+1/2b)(a+nb+1/2b)]
=n^2/[(a+1/2b)(a+nb+1/2b)]
＜n^2/{(a+1/2b)[a+(n+1)/2b]}
∴[1/(a+b)+1/(a+2b)+……+1/(a+nb)]＾2＜n^2/{(a+1/2b)[a+(n+1)/2b]}
1/(a+b)+1/(a+2b)+……+1/(a+nb)>0
n/√(a+0.5b)(a+(n+1)/2b)>0
∴1/(a+b)+1/(a+2b)+……+1/(a+nb)< n/√(a+0.5b)(a+(n+1)/2b)

得证。

Answer 4

http://www.mathedu.cn/Soft/ShiTi/g3/G31/200801/20080107223130.shtml