Question

已知函数f（x）=（x-1）2+alnx有两个极值点x1，x2且x1＜x2（Ⅰ）求实数a的取值范围，并讨论f（x）的单调

已知函数f（x）=（x-1）2+alnx有两个极值点x1，x2且x1＜x2（Ⅰ）求实数a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞1?2ln24．

Answer 1

（Ⅰ）由题设知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)＝

2x2?2x+a

x

；
∵f（x）有两个极值点x₁，x₂且x₁＜x₂；
∴f′（x）=0有两个不同的根x₁，x₂；
∴2x²-2x+a=0的判别式△=4-8a＞0，即a＜

1

2

，且x1＝

1? 1?2a

2

，x2＝

1+ 1?2a

2

又x₁＞0，∴a＞0；
∴a的取值范围是(0，

1

2

)；
当0＜x＜x₁或x＞x₂时，f′（x）＞0；当x₁＜x＜x₂时，f′（x）＜0；
∴f（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）上单调递增，在（x₁，x₂）上单调递减；
（Ⅱ）由（Ⅰ）Ⅰx1+x2＝1，x1x2＝

a

2

，∴a=2x₁x₂=2x₂（1-x₂）；
∴f（x₂）=(x2?1)2+alnx2＝(x2?1)2+2x2(1?x2)lnx₂(

1

2

＜x2＜1)；
∴f′（x₂）=2（x₂-1）+2[（1-2x₂）lnx₂+x2(1?x2)

1

x2

]=2（1-2x₂）lnx₂＞0；
∴函数f（x₂）在(

1

2

，1)单调递增，∴f(x2)＞f(

1

2

)＝

1?2ln2

4

．