Question

设数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，若数列{an}中任意不同两项之和仍是该数列中的一

设数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，若数列{an}中任意不同两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列为“F数列”．（1）若a1=4，d=2，判断该数列是否为“F数列”．（2）若a1，d∈N，是否存在这样的“F数列”，使S10≤70？若存在，求出所有满足条件的数列的通项公式；若不存在，请说明理由．（3）试问：数列{an}为“F数列”的充要条件是什么？给出你的结论并加以证明．

Answer 1

解答：（本小题满分16分）
解 （1）由题意，a_n=2n+2，对于任意m，n有a_m+a_n=2（m+n+1）+2，因m+n+1∈N^*，
于是令P=m+n+1，则有a_p=2p+2∈{a_n}，
所以数列{a_n}为“F数列”．------------（4分）
（2）假设存在数列{a_n}满足条件，即10a₁+45d≤70，则a₁和d的可能值
①d=0，a₁=0，1，2，3，4，5，6，7，此时a_n=0是“F数列”
②d=1，a₁=0，1，2  此时a_n=n-1，a_n=n，a_n=n+1均为“F数列
所以满足条件的数列通项公式为a_n=0，a_n=n-1，a_n=n，a_n=n+1-----------------（8分）
（3）结论：数列{a_n}为“F数列”的充要条件是存在整数m≥-1使a₁=md------（10分）
证明：ⅰ） 充分性 若存在整数m≥-1使a₁=md，则任取等差数列的两项a_s，a_t（s≠t）
因s+t≥3，m≥-1所以s+t+m-1为≥1的正整数，
于是a_s+a_t=a₁+（s-1）d+md+（t-1）d=a₁+（s+t+m-2）d=a_m+s+t-1∈{a_n}-------（12分）
ⅱ） 必要性  任取等差数列的两项a_s，a_t（s≠t），若存在a_k使得a_s+a_t=a_k
则2a₁+（s+t-2）d=a₁+（k-1）d，于是a₁=（k-s-t+1）d，故存在m=k-s-t+1∈Z
使a₁=md，下面证明m≥-1．
当d=0，显然成立
当d≠0，若m＜-1，则取p=-m≥-2，对不同的两项a₁，a_p，存在a_q使a₁+a_p=a_q．
即2md+（-m-1）d=md+（q-1）d，可得qd=0，这与q＞0，d≠0矛盾
故存在整数m≥-1使a₁=md-----------------------------------------（16分）