Question

已知函数fx=ax^2+bx+c(a不为0)的图像过点（-1，0）。命题p：对任意实数x，fx>=x;命题q：存在实数x，

使fx>0.5(x^2+1).若命题“p且非q”是真命题
1、证明f（1）=1
2、求fx解析式

Answer 1

p且非q是真命题，说明1.对任意的实数x,f(x)≥x成立。2.对任意的实数x,f(x)≤0.5(x²+1)

1. ∵它过(-1,0),代入得0=a-b+c①b=a+c

即(x²+1)/2≥f(x)≥x

我们找(x²+1)/2=x这点有(x-1)²=0即x=1,这说明x=1是它们的公共交点。即

f(1)=1

 

2.代入f(1)得a+b+c=1与①连理解得2(a+c)=1   a+c=b=1/2②

f(x)=ax²+x/2+c≥x得

ax²-x/2+c≥0

有开口向上a>0,△≤0,1/4-4ac≤0,ac≥1/16,③

f(x)≤(x²+1)/2得

ax²+x/2+c≤x²/2+1/2

即(a-1/2)x²+x/2+(c-1/2)≤0

讨论，当a=1/2时，有c=1/2-a=0即x/2-1/2≤0对存在x不满足条件,矛盾。

当a≠1/2时，要使其恒成立，需要让开口向下即a-1/2<0,  a<1/2

同时△≤0即1/4-4(c-1/2)(a-1/2)≤0④即(c-1/2)(a-1/2)≥1/16⑤

代入②于⑤得(-a)(a-1/2)≥1/16

-a²+a/2-1/16≥0

16a²-8a+1≤0

(4a-1)²≤0

当且仅当4a=1时成立，即a=1/4,则c=1/2-1/4=1/4

所以得b=1/2,a=1/4,c=1/4,同时它满足③，是解，成立

这个函数是x²/4+x/2+1/4