Question

在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（0， ）的距离比点P到x轴的距离大 ，设动点P的轨迹为曲线C，直线

在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（0， ）的距离比点P到x轴的距离大 ，设动点P的轨迹为曲线C，直线l：y=kx+1交曲线C于A，B两点，M是线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N，（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）证明：曲线C在点N处的切线与AB平行；（Ⅲ）若曲线C上存在关于直线l对称的两点，求k的取值范围．

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Answer 1

（Ⅰ）解：由已知，动点P到定点F 的距离与动点P到直线 的距离相等， 由抛物线定义可知，动点P的轨迹为以 为焦点，直线 为准线的抛物线， 所以曲线C的方程为y=x 2 ． （Ⅱ）证明：设 ， 由 ，得 ， 所以 ， 设 ，则 ， 因为MN⊥x轴，所以N点的横坐标为 ， 由y=x 2 ，可得y′=2x，所以当x= 时，y′=k， 所以曲线C在点N处的切线斜率为k，与直线AB平行． （Ⅲ）解：由已知，k≠0，设直线l的垂线为l′： ， 代入y=x 2 ，可得 ， （*） 若存在两点 关于直线l对称，则 ， 又 在l上， 所以 ， 由方程（*）有两个不等实根， 所以 ，即 ， 所以 ，解得 或 。