Question

在数列{an}中，a1＝1，an+1＝3an+3n．（Ⅰ）设bn＝an3n?1，证明：数列{bn}是等差数列；（Ⅱ）求数列{ann}

在数列{an}中，a1＝1，an+1＝3an+3n．（Ⅰ）设bn＝an3n?1，证明：数列{bn}是等差数列；（Ⅱ）求数列{ann}的前n项和Sn．

Answer 1

（Ⅰ）由已知a_n+1=3a_n+3ⁿ得：
b_n+1=

an+1

3n

=

3an+3n

3n

=

an

3n?1

+1
=b_n+1，
又b₁=a₁=1，因此{b_n}是首项为1，公差为1的等差数列…（6分）
（Ⅱ）由（1）得

an

3n?1

=n，
∴

an

n

=3^n-1，…（8分）
∴S_n=1+3¹+3²+…+3^n-1=

1×(1?3n)

1?3

=

3n?1

2

…（12分）