Question

过抛物线y2=4x的焦点F且斜率为k（k＞0）的直线交抛物线于A、B两点，若AF＝4FB，则斜率k的值为（　　）A．

过抛物线y2=4x的焦点F且斜率为k（k＞0）的直线交抛物线于A、B两点，若AF＝4FB，则斜率k的值为（　　）A．1B．2C．23D．43

Answer 1

∵抛物线 C：y²=4x焦点F（1，0），准线x=-1，则直线AB的方程为y=k（x-1）
联立方程

y＝k(x?1) y2＝4x

可得k²x²-2（2+k²）x+k²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2＝

2(2+k2)

k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

4

k2

?k=

4

k

①
∴

AF

＝(1?x1，?y1)，

FB

＝(x2?1，y2)
∵

AF

＝4

FB

，
∴

1?x1＝4(x2?1) y1＝?4y2

即

x1＝?4x2+5 y1＝?4y2

②
①②联立可得，x2＝

3k2?4

3k2

，y2＝?

4

3k2

?k＝?

4

3k

，代入抛物线方程y²=4x可得

16

9k2

＝

3k2?4

3k2

×4
∴9k²=16
∵k＞0
∴k=

4

3

故选D