Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+b+c=16（1）若a=4，b=5，求cosC的值；（2）若sinAcos

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+b+c=16（1）若a=4，b=5，求cosC的值；（2）若sinAcos2B2+sinBcos2A2=2sinC，且△ABC的面积S=18sinC，求a和b的值．

Answer 1

（1）由题意可知c=16-（a+b）=7，
由余弦定理得cosC＝

a2+b2?c2

2ab

＝

42+52?72

2×4×5

＝?

1

5

．
（2）由sinAcos2

B

2

+sinBcos2

A

2

＝2sinC，
可得sinA?

1+cosB

2

+sinB?

1+cosA

2

＝2sinC，
化简得sinA+sinAcosB+sinB+sinB?cosA=4sinC
∴sinA+sinB+sin（A+B）=4sinC，
sinA+sinB=3sinC，
即a+b=3c，
又a+b+c=16，
∴a+b=12．
由于S＝

1

2

absinC＝18sinC，
∴ab=36．
∴

ab＝36 a+b＝12

，
解得a=b=6．