Question

将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合

将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合，已知AB=2 ，P是AC上的一个动点。（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长；（2）当点P在运动过程中出现PD=BC时，求此时∠PDA的度数；（3）当点P运动到什么位置时，以D、P、B、Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时□DPBQ的面积。

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Answer 1

解：在Rt△ABC中，AB=2 ，∠BAC=30°， ∴BC= ，AC=3， （1）如图（1），作DF⊥AC， ∵Rt△ACD中，AD=CD， ∴DF=AF=CF= ， ∵BP平分∠ABC， ∴∠PBC=30°， ∴CP=BC·tan30°=1， ∴PF= ， ∴DP= = 。
（2）当P点位置如图（2）所示时，根据（1）中结论，DF= ，∠ADF=45°， 又PD=BC= ， ∴cos∠PDF= = ， ∴∠PDF=30°， ∴∠PDA=∠ADF-∠PDF=15°， 当P点位置如图（3）所示时，同（2）可得∠PDF=30°， ∴∠PDA=∠ADF+∠PDF=75°；
（3）CP= ， 在□DPBQ中，BC∥DP， ∵∠ACB=90°， ∴DP⊥AC， 根据（1）中结论可知，DP=CP= ， ∴S □DPBQ = = 。