Question

已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C经过A（-7，5）、B（-1，-1）两点．（1）求双曲线C的方程；（2

已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C经过A（-7，5）、B（-1，-1）两点．（1）求双曲线C的方程；（2）设直线l：y=x+m交双曲线C于M、N两点，且线段MN被圆E：x2+y2-12x+n=0（n∈R）三等分，求实数m、n的值．

Answer 1

（1）设双曲线C的方程是λx²+μy²=1，依题意有

49λ+25μ＝1 λ+μ＝1

…（2分）
解得λ=-1，μ=2…（3分）  
所以所求双曲线的方程是2y²-x²=1…（4分）
（2）将l：y=x+m代入2y²-x²=1，得x²+4mx+（2m²-1）=0…（*）
∴△=（4m）²-4（2m²-1）=8m²+4＞0…（6分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点P（x₀，y₀），则x₁+x₂=-4m，x1x2＝2m2?1…（7分）
则x0＝

x1+x2

2

＝?2m，y₀=x₀+m=-m，
∴P（-2m，-m）…（8分）
又圆心E（6，0），依题意k_PE=-1，故

m

6+2m

＝?1，即m=-2…（9分）
将m=-2代入（*）得x²-8x+7=0，解得x₁=1，x₂=7，
∴|MN|＝

1+12

|x1?x2|＝6

2

…（10分）
故直线l截圆E所得弦长为

1

3

|MN|＝2

2

，
又E（6，0）到直线l的距离d＝2

2

…（11分）
∴圆E的半径