（2012?湖南模拟）如图，三棱锥P-ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，∠APC=90°，且AB=4，AP=PC=2，BC=22．（Ⅰ）
（2012?湖南模拟）如图，三棱锥P-ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，∠APC=90°，且AB=4，AP=PC=2，BC=22．（Ⅰ）求证：PA⊥平面PBC；（Ⅱ）若E...
（2012?湖南模拟）如图，三棱锥P-ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，∠APC=90°，且AB=4，AP=PC=2，BC=22．（Ⅰ）求证：PA⊥平面PBC；（Ⅱ）若E为侧棱PB的中点，求直线AE与底面ABC所成角的正弦值．
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（Ⅰ） 证明：由∠APC=90°知，PA⊥PC，又AP=PC=2，所以AC=2
| 2 |
又AB=4，BC=2
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所以∠ACB=90°，即BC⊥AC，…（3分）
又侧面PAC⊥底面ABC，侧面PAC∩底面ABC平面=AC，BC?平面ABC，
所以BC⊥平面ACP，所以PA⊥BC，…（5分）
又PC∩BC=C，所以PA⊥平面PBC…（6分）
（Ⅱ）解：如图，取AC中点O，连接PO、OB，并取OB中点H，连接AH、EH，
因为PA=PC，所以PO⊥AC，
∵BC⊥平面ACP，PO?平面ACP
∴BC⊥PO
∵AC∩BC=C，∴PO⊥平面ABC，
又E为侧棱PB的中点，H为OB中点，∴EH∥PO
∴EH⊥平面ABC，…（8分）
∴∠EAH为直线AE与底面ABC所成角，且sin∠EAH=
| EH |
| AE |
又PO=
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∵PA⊥平面PBC，PB?平面PBC，∴AP⊥PB，∴PB=2
| 3 |
| 3 |
∴AE=
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