Question

已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，其中F2也是抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦

已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，其中F2也是抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，M（23，m）是C1与C2在第一象限内的交点，且|MF2|=53．（1）求p的值与椭圆的方程；（2）设点Q是椭圆上除长轴两端外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A，B，使得直线QA，QB的斜率之积为定值？若存在，请求出定值以及定点A，B的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）因为点M(

2

3

，m)在抛物线上，且|MF2|=

5

3

，抛物线准线为x=-

p

2

，
所以，

2

3

+

p

2

=

5

3

，解得：p=2，…（3分）
所以，抛物线方程为y²=4x，焦点F₂（1，0），
点M(

2

3

，m)代入y²=4x得m=

2 6

3

，所以点M(

2

3

，

2 6

3

)，
由它在椭圆上及椭圆右焦点为F₂（1，0）得

a2-b2=1 ( 2 3 )2 a2 + ( 2 6 3 )2 b2 =1

，解得

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