Question

（1）设双曲线与椭圆x227+y236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的标准

（1）设双曲线与椭圆x227+y236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．（2）设椭圆x2m2+y2n2＝1（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为12，求椭圆的标准方程．

Answer 1

（1）椭圆

x2

27

+

y2

36

＝1的焦点为（0，3），（0，-3）
所以双曲线的c²=9．
在椭圆上，令y=4，解得，x＝±

15

．
所以双曲线过点（±

15

，4）
设双曲线方程

y2

a2

?

x2

b2

＝1
将点（

15

，4）代入，得

16

a2

?

15

b2

＝1①
又a²+b²=c²=9②
由①②可以解得a²=4，b²=5．
双曲线方程

y2

4

?

x2

5

＝1；
（2）由抛物线y²=8x，得p=4
抛物线右焦点是（2，0），即椭圆的焦点坐标是（2，0），则c=2
又e=

c

a

＝

1

2

，故a=4
即m²=a²=16，n²=b²=a²-c²=16-4=12
∴椭圆的标准方程为

x2

16

+

y2

12

＝1．