Question

在△ABC中，AB=2 ，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长

在△ABC中，AB=2 ，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．

Answer 1

解：∵AC=4，BC=2，AB= ， ∴AC 2 +BC 2 =AB 2 ， ∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°． 分三种情况： 如图（1），过点D作DE⊥CB，垂足为点E．易证△ACB≌△BED， 易求CD=2 ； 如图（2），过点D作DE⊥CA，垂足为点E．易证△ACB≌△DEA， 易求CD=2 ； 如图（3），过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F． ∵∠C=90°， ∴∠CAB+∠CBA=90°， ∵∠DAB+∠DBA=90°， ∴∠EBD+∠DAF=90°， ∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°， ∴∠DBE=∠ADF， ∵∠BED=∠AFD=90°，DB=AD， ∴△AFD≌△DEB， 易求CD=3 ．