Question

设函数f（x）=x-aex-1．（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤0对x∈R恒成立，求a的取值范围；（

设函数f（x）=x-aex-1．（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤0对x∈R恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）对任意n的个正整数a1，a2，…an记A=a1+a2+…+ann（1）求证：aiA≤eaiA?1（i=1，2，3…n）（2）求证：A≥na1a2…an．

Answer 1

（I）∵函数f（x）=x-ae^x-1．
∴函数f′（x）=1-ae^x-1．
当a≤0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上是增函数
当a＞0时，令f′（x）=0得x=1-lna，则f（x）在区间（-∞，1-lna）上是增函数，在区间（1-lna，+∞）上是减函数
综上可知：当a≤0时，f（x）在R上是增函数；当a＞0时，f（x）在区间（-∞，1-lna）上是增函数，在区间（1-lna，+∞）上是减函数．
（II）由（I）可知：当a≤0时，f（x）≤0不恒成立
当a＞0时，f（x）在点x=1-lna时取最大值-lna，
令-lna≤0，则a≥1
故若f（x）≤0对x∈R恒成立，则a的取值范围为[1，+∞）
（III）（1）由（II）知：当a=1时恒有f（x）=x-e^x-1≤0成立
即x≤e^x-1
∴

ai

A

≤e

ai

A

?1
（2）由（1）知：

a1

A

≤e

a1

A

?1，

a2

A

≤e

a2

A

?1，…，

an

A

≤e

an

A

?1
把以上n个式子相乘得

a1?a2?…?an

An

≤e

a1+a2+…+an

A

?n=1
∴Aⁿ≥a₁?a₂?_…?a_n
故A≥

n	a1?a2?…?an