Question

已知函数f（x）=xex（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f′（x）≥3kx-k对一切x∈[-1，+∞

已知函数f（x）=xex（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f′（x）≥3kx-k对一切x∈[-1，+∞）恒成立，求正实数k的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=（1+x）e^x，
当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＜0；
当x∈（-1，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调递增区间为（-1，+∞），单调递减区间为（-∞，-1）．
（Ⅱ）由已知条件可知，原不等式等价于（1+x）e^x≥k（3x-1），
当?1≤x≤

1

3

时，
∵k＞0，∴k（3x-1）≤0，
而（1+x）e^x≥0，此时不等式显然成立；
当x＞

1

3

时，k≤

(1+x)ex

3x?1

．
设g（x）=

(1+x)ex

3x?1

(x＞

1

3

)，g′(x)＝

(3x2+2x?5)ex

(3x?1)2

，
令g′（x）=0得x＝?

5

x

或x=1，
当x∈(

1

3

，1)时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
故当x=1时，g（x）有最小值e，
即得0＜k＜e．