Question

在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1，第二次取2个连续偶数2、4；第三次取3个连续

在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1，第二次取2个连续偶数2、4；第三次取3个连续奇数5、7、9；第四次取4个连续偶数10、12、14、16；第五次取5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…．则在这个子数列中，由1开始的第15个数是______，第2014个数是______．

Answer 1

记该数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…为{a_n}，
由1开始依次按如下规则取它的项：
第一次取1，
第二次取2个连续偶数2、4；
第三次取3个连续奇数5、7、9；
第四次取4个连续偶数10、12、14、16；
第五次取5个连续奇数17、19、21、23、25，…
可知：第一组的最后一个数依次为：1，4，9，16，25，…
归纳得到，每一组的最后一个数依次为：1²，2²，3²，4²，…，n²，…
即第n个组最后一个数为n²．
利用1+2+3+…+n=29或1+2+3+…+n≈29，n∈N^*
得到：1+2+3+4+5+6+7+1=29
∴a₁，a₂，a₃，a₄，…a₂₉按上述分组共有8组，a₂₉是第8组的第一个数．
∵第七组最后一个数为7²=49，
由组间的差为1，得：a₂₉=49+1=50．
由于1+2+3+…+61+62+61=2014，
所以a₂₀₁₄位于第63组，倒数第三个，
因为第63组最后一个数为63²=3969，
由组内的差为2，得：a₂₀₁₄=3969-4=3965．
故答案为：25，3965．