Question

如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，O为BC的中点，动点E在BA边上自由移动，动点F在AC边上自由移动． (

如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，O为BC的中点，动点E在BA边上自由移动，动点F在AC边上自由移动． (1)点E、F的移动过程中，△OEF是否能成为∠EOF=45°的等腰三角形？若能，请指出 △OEF为等腰三角形时动点E、F的位置．若不能，请说明理由． (2)当∠EOF=45°时，设BE=x，CF=y，求y与x之间的函数解析式，写出x的取值范围． (3)在满足(2)中的条件时，若以O为圆心的圆与AB相切（如图），试探究直线EF与的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

解：(1)点E、F移动的过程中，AOEF能成为∠EOF=45°的等腰三角形．   此时点E，F的位置分别是：   ①E是BA的中点，F与A重合．  ②BE=CF=   ③E与A重合，F是AC的中点．   (2)在AOEB和△F OC中，   ∠EOB+∠FOC=135°，∠EOB+∠OEB＝135°，   ∴∠FOC=∠OEB. 又∵∠B＝∠C，   ∴△OEB∽△FOC ∴ ∵BE＝x,CF＝y,    OB=OC= ∴y=    (3)EF与⊙O相切， ∴△OEB∽△FOC ∴ ． 即  又∵∠B=∠EOF=45°， ∴△BEO∽△OEF.   ∴∠BEO+∠OEF ∴点O到AB和EF的距离相等．   ∵AB与⊙O相切，   ∴点O到EF的距离等于⊙O的半径，   ∴EF与⊙O相切．