Question

如图，ABCD为平行四边形，AD＝2，BE∥AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点. （1）求证：EF＝DF；（2）若

如图，ABCD为平行四边形，AD＝2，BE∥AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点. （1）求证：EF＝DF；（2）若AC=2CF,∠ADC=60 o , AC⊥DC，求DE的长.

Answer 1

（1）证明：过点E作EG∥CD交AF的延长线于点G 则∠GEF＝∠CDF，∠G＝∠DCF                                   在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD ∴EG∥AB ∵BE∥AC ∴四边形ABEG是平行四边形 ∴EG＝AB＝CD                 ∴△EGF≌△DCF ∴EF＝DF                        （2）∵∠ADC=60 o , AC⊥DC ∴∠CAD＝30 o ∵AD＝2 ∴CD＝1                                ∴AC＝                                又AC=2CF， ∴CF＝                                                    在Rt△DGF中 DF＝ ＝ ∴DE＝2DF＝

（1）先过点E作EG∥CD交AF的延长线于点G，由EG∥CD，AB∥CD，可得，AB∥GE，再由BE∥AG，那么四边形ABEG是平行四边形，就可得，AB=GE=CD，而GE∥CD，会出现两对内错角相等，故△EGF≌△DCF，即EF=DF． （2）有AC⊥DC，∠ADC=60°，可得CD= AD=1，利用勾股定理，可求AC= ，而CF= AC，那么再利用勾股定理，又可求DF，而由（1）知，DE=2DF，故可求．