Question

已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠AED=∠ACB=90°，点D在AB上，M为DB的中点，连接EC，N是EC的中点，连

已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠AED=∠ACB=90°，点D在AB上，M为DB的中点，连接EC，N是EC的中点，连接DN并延长交AC于点F．求证：（1）△EDN≌△CFN；（2）MN=12CE．

Answer 1

证明：（1）∵△ABC是等腰Rt△ABC和△AED是等腰Rt△AED，∠AED=∠ACB=90°，
∴∠EAD=∠EDA=∠BAC=∠ABC=45°，
∴∠EAC=90°，
∴ED∥FC，
∴∠EDN=∠CFN，
∵N是EC的中点，
∴EN=CN，
在△EDN和△CFN中

∠EDN＝∠CFN ∠END＝∠CNF EN＝CN

，
∴△EDN≌△CFN（AAS）；

（2）连接EM并延长到H，使EM=MH，连接CH、CH、BH，
在△EDM和△FBM中，

BM＝MD ∠EMD＝∠HMB EM＝MH

，
∴△EDM≌△HBM（SAS），
∴BH=DE=AE，∠HBM=∠EDM=135°，
∴∠HBC=∠EAC=90°，
在△EAC和△HBC中，

AE＝HB ∠HBC＝∠EAC＝90° AC＝BC

，
∴△EAC≌△FBC（SAS），
∴HC=CE，
又∵点M、N分别是EH、EC的中点，
∴MN=

1

2

HC，
∴MN=

1

2

CE．