Question

已知函数f（x）=loga（x+2）-loga（2-x），a＞0且a≠1．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇

已知函数f（x）=loga（x+2）-loga（2-x），a＞0且a≠1．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）若0＜a＜1，解关于x的不等式f（a4x-1-2）＞0．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=log_a（x+2）-log_a（2-x），a＞0且a≠1，
∴

x+2＞0 2?x＞0

，-2＜x＜2，
即函数f（x）的定义域（-2，2），
（2）f（x）=log

2+x 2?x a

，
∵f（-x）=log

2?x 2+x a

=-log

2+x 2?x a

=-f（x）
∴f（-x）=-f（x），
即f（x）的奇函数，
（3）∵f（x）＞0，
∴log_a（x+2）＞log_a（2-x），
当0＜a＜1时，x+2＜2-x，即x＜0，
因为：定义域（-2，2）所以：-2＜x＜0，
解关于x的不等式f（a^4x-1-2）＞0．
-2＜a^4x-1-2＜0，即0＜a^4x-1＜2，x＞

1

4

+

1

4

log

2 a

，
所以关于x的不等式f（a^4x-1-2）＞0解集为：（

1

4

+

1

4

log

2 a

，+∞）．