Question

在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知点P的极坐标（2，π2），曲线

在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知点P的极坐标（2，π2），曲线C的极坐标方程：ρ=-4cosθ，过点P的直线l交曲线C于M、N两点．（Ⅰ）若在直角坐标系下直线l的倾斜角为α，求直线l的参数方程和曲线C的普通方程；（Ⅱ）求|PM|+|PN|的最大值及相应的α值．

Answer 1

（Ⅰ）若在直角坐标系下直线l的倾斜角为α，把点P的极坐标（2，

π

2

）化为直角坐标为（0，2），
故直线l的参数方程为

x＝0+tcosα y＝2+tsinα

 （t为参数）．
曲线C的极坐标方程：ρ=-4cosθ，即 ρ²=-4ρcosθ，化为直角坐标方程为 （x+2）²+y²=4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，曲线C表示以C（-2，0）为圆心、半径等于2的圆．
把直线l的参数方程代入曲线C的方程化简可得 t²+4（cosα+sinα）t+4=0，∴t₁+t₂=4（cosα+sinα），t₁?t₂=4．
|PM|+|PN|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=4

2

|sin（α+

π

4

）|．
再根据α∈[0，π），可得当α=

π

4

时，|PM|+|PN|的最大值为4

2

．