Question

选修4-5：不等式选讲设函数f（x）=|2x-1|-|x+1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤0的解集D；（Ⅱ）若存在实数x∈D

选修4-5：不等式选讲设函数f（x）=|2x-1|-|x+1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤0的解集D；（Ⅱ）若存在实数x∈D使3x+2?x＞a成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当x≤-1时，由f（x）=-x+2≤0，得x≥2，所以x∈?；
当?1＜x≤

1

2

时，由f（x）=-3x≤0得x≥0，所以0≤x≤

1

2

；
当x＞

1

2

时，由f（x）=x-2≤0得x≤2，所以

1

2

＜x≤2．…（2分）
综上得：不等式f（x）≤0的解集D={x|0≤x≤2}．…（3分）
（Ⅱ）

3x

+

2?x

=

3

x

+

2?x

，…（4分）
由柯西不等式得(

3

x

+

2?x

)2≤（3+1）（x+（2-x））=8，
∴

3x

+

2?x

≤2

2

，…（5分）
当且仅当x＝

3

2

时取“=”，
∴a的取值范围是(?∞，2

2

)．…（7分）