Question

判断级数∑n∧3[√2+(-1)∧n]∧n/3∧n的敛散性

谢谢 老师

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

级数∑1/2^n与∑1/3^n都是等比级数，
公比分别是1/2与1/3，所以收敛。根据级数性质，原级数收敛
令a=3/[√2+(-1)^n]>=3/(√2+1)>1，
limn→∞ {n^3[√2+(-1)^n]^n}/3^n
=limn→∞ n^3/a^n
=limn→∞ 6/[a^n*(lna)^3]
=0
所以该级数收敛。

【方法指导】
极限审敛法:

∵lim(n→∞)n*un=(3/2)^n=+∞
∴un发散.
比值审敛法:
un+1=3^(n+1)/[(n+1)*2^(n+1)]=3^n*3/[(n+1)*2^n*2]
un+1/un=3n/(2n+2)
lim(n→∞)un+1/un=3/2>1,∴发散
根值审敛法:
n^√un=3/2*n^√(1/n)=3/2*(1/n)^(1/n)
令t=1/n,则当n→∞时t→0,t^t→1
∴lim(n→∞)n^√un=3/2>1,发散.

Answer 3

令a=3/[√2+(-1)^n]>=3/(√2+1)>1，
则：
limn→∞ {n^3[√2+(-1)^n]^n}/3^n
=limn→∞ n^3/a^n
=limn→∞ 6/[a^n*(lna)^3]
=0

所以该级数收敛。