Question

在如图的直角坐标系中，已知点A(2,0)、B(0，－4)，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC． (1)求点C的

在如图的直角坐标系中，已知点A(2,0)、B(0，－4)，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC． (1)求点C的坐标；(2)若抛物线y＝－x 2 ＋ax＋4经过点C．①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在点P(点C除外)使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形?若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

C的坐标为（3，﹣1）； （2）①抛物线的解析式为y=﹣ x 2 + x+2； ②存在点P，△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，符合条件的点有P 1 （﹣1，1），P 2 （﹣2，﹣1）两点．

试题分析：（1）过点C作CD垂直于x轴，由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC，根据旋转的旋转得到AB=AC，且∠BAC为直角，可得∠OAB与∠CAD互余，由∠AOB为直角，可得∠OAB与∠ABO互余，根据同角的余角相等可得一对角相等，再加上一对直角相等，利用ASA可证明三角形ACD与三角形AOB全等，根据全等三角形的对应边相等可得AD=OB，CD=OA，由A和B的坐标及位置特点求出OA及OB的长，可得出OD及CD的长，根据C在第四象限得出C的坐标； （2）①由已知的抛物线经过点C，把第一问求出C的坐标代入抛物线解析式，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出抛物线的解析式； ②假设存在点P使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，分三种情况考虑：（i）A为直角顶点，过A作AP 1 垂直于AB，且AP 1 =AB，过P 1 作P 1 M垂直于x轴，如图所示，根据一对对顶角相等，一对直角相等，AB=AP 1 ，利用AAS可证明三角形AP 1 M与三角形ACD全等，得出AP 1 与P 1 M的长，再由P 1 为第二象限的点，得出此时P 1 的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（ii）当B为直角顶点，过B作BP 2 垂直于BA，且BP 2 =BA，过P 2 作P 2 N垂直于y轴，如图所示，同理证明三角形BP 2 N与三角形AOB全等，得出P 2 N与BN的长，由P 2 为第三象限的点，写出P 2 的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（iii）当B为直角顶点，过B作BP 3 垂直于BA，且BP 3 =BA，如图所示，过P 3 作P 3 H垂直于y轴，同理可证明三角形P 3 BH全等于三角形AOB，可得出P 3 H与BH的长，由P 3 为第四象限的点，写出P 3 的坐标，代入抛物线解析式检验，不满足，综上，得到所有满足题意的P的坐标． 试题解析：（1）过C作CD⊥x轴，垂足为D， ∵BA⊥AC，∴∠OAB+∠CAD=90°， 又∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°， ∴∠CAD=∠OBA，又AB=AC，∠AOB=∠ADC=90°， ∴△AOB≌△CDA，又A（1，0），B（0，﹣2）， ∴OA=CD=1，OB=AD=2， ∴OD=OA+AD=3，又C为第四象限的点， ∴C的坐标为（3，﹣1）； （2）①∵抛物线y=﹣ x 2 +ax+2经过点C，且C（3，﹣1）， ∴把C的坐标代入得：﹣1=﹣ +3a+2，解得：a= ， 则抛物线的解析式为y=﹣ x 2 + x+2； ②存在点P，△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形， （i）若以AB为直角边，点A为直角顶点， 则延长CA至点P 1 使得P 1 A=CA，得到等腰直角三角形ABP 1 ，过点P 1 作P 1 M⊥x轴，如图所示， ∵AP 1 =CA，∠MAP 1 =∠CAD，∠P 1 MA=∠CDA=90°， ∴△AMP 1 ≌△ADC， ∴AM=AD=2，P 1 M=CD=1， ∴P 1 （﹣1，1），经检验点P 1 在抛物线y=﹣ x 2 + x+2上； （ii）若以AB为直角边，点B为直角顶点，则过点B作BP 2 ⊥BA，且使得BP 2 =AB， 得到等腰直角三角形ABP 2 ，过点P 2 作P 2 N⊥y轴，如图， 同理可证△BP 2 N≌△ABO， ∴NP 2 =OB=2，BN=OA=1， ∴P 2 （﹣2，﹣1），经检验P 2 （﹣2，﹣1）也在抛物线y=﹣ x 2 + x+2上； （iii）若以AB为直角边，点B为直角顶点，则过点B作BP 3 ⊥BA，且使得BP 3 =AB， 得到等腰直角三角形ABP 3 ，过点P 3 作P 3 H⊥y轴，如图， 同理可证△BP 3 H≌△BAO， ∴HP 3 =OB=2，BH=OA=1， ∴P 3 （2，﹣3），经检验P 3 （2，﹣3）不在抛物线y=﹣ x 2 + x+2上； 则符合条件的点有P 1 （﹣1，1），P 2 （﹣2，﹣1）两点．