Question

已知A（-1，0），B（2，0），动点M（x，y）满足 |MA| |MB| = 1 2 ，设动点M的轨迹

已知A（-1，0），B（2，0），动点M（x，y）满足 |MA| |MB| = 1 2 ，设动点M的轨迹为C．（1）求动点M的轨迹方程，并说明轨迹C是什么图形；（2）求动点M与定点B连线的斜率的最小值；（3）设直线l：y=x+m交轨迹C于P，Q两点，是否存在以线段PQ为直径的圆经过A？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1） (x+1) 2 + y 2 (x-2) 2 + y 2 = 1 2 化简可得（x+2） 2 +y 2 =4． 轨迹C是以（-2，0）为圆心，2为半径的圆（3分） （2）设过点B的直线为y=k（x-2）．圆心到直线的距离 d= |-4k| k 2 +1 ≤2 ∴ - 3 3 ≤k≤ 3 3 ，k min = - 3 3 （7分） （3）假设存在，联立方程 y=x+m (x+2) 2 + y 2 =4 得2x 2 +2（m+2）x+m 2 =0 设P（x 1 ，y 1 ），Q（x 2 ，y 2 ）则x 1 +x 2 =-m-2，x 1 x 2 = m 2 2 PA⊥QA，∴（x 1 +1）（x 2 +1）+y 1 y 2 =（x 1 +1）（x 2 +1）+（x 1 +m）（x 2 +m）=0， 2x 1 x 2 +（m+1）（x 1 +x 2 ）+m 2 +1=0得m 2 -3m-1=0， m= 3± 13 2 且满足△＞0．∴ m= 3± 13 2 （12分）