Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一

如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k，（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k＞0，求证：PA⊥PB。





Answer 1

解：（1）M(-2，0)，N(0， )，M、N的中点坐标为(-1， )， 所以 ； （2）由 ，得 ， ， AC方程： ， 即： ， 所以点P到直线AB的距离 ； （3）由题意设 ，则 ， ∵A、C、B三点共线， ∴ ， 又因为点P、B在椭圆上， ∴ ，两式相减得： ， ∴ ， ∴PA⊥PB。