Question

设函数f（x）=lnx+ln（2-x）+ax（a＞0）（1）当a＝∫π20(cos2x2?sin2x2)dx时，若f（x）在（0，m]上是单

设函数f（x）=lnx+ln（2-x）+ax（a＞0）（1）当a＝∫π20(cos2x2?sin2x2)dx时，若f（x）在（0，m]上是单调函数，求m的取值范围；（2）若f（x）在（0，1]上的最大值为12，求a的值．

Answer 1

对函数求导得：f′(x)＝

1

x

?

1

2?x

+a，定义域为（0，2）
（1）由于a＝

∫

π 2 0

(cos2

x

2

?sin2

x

2

)dx=

∫

π 2 0

(cosx)dx＝sinx|

π 2 0

=1
当a=1时，f′（x）=

1

x

-

1

2?x

+1，
当f′（x）＞0，即0＜x＜

2

时，f（x）为增函数；当f′（x）＜0，

2

＜x＜2时，f（x）为减函数．
所以f（x）的单调增区间为（0，

2

），单调减区间为（

2

，2），
若f（x）在（0，m]上是单调函数，则m≤

2

．
∴m的取值范围：0＜m≤

2

．
（2）当x∈（0，1]时，f′(x)＝

1

x

?

1

2?x

+a＞0，
得（0，1]为单调递增区间．
从而最大值在右端点取到．fmax＝f(1)＝a＝

1

2

所以a=

1

2

．