Question

概率统计题目，已知随机变量X服从二项分布b(n,p)求随机变量Y=e^（mX）的数学期望和方差

已知随机变量X服从二项分布b(n,p)求随机变量Y=e^（mX）的数学期望和方差

写下过程

Answer 1

X -- B(n, p) ==> p(x) = C(n, x) p^x (1-p) ^(n-x)

Y = e ^ (mx)
==> E(Y) = 所有的y求和 y * p(y)
= 所有的x求和 e ^ (mx) * p(x）
= 所有的x求和 e ^ (mx) * [C(n, x) p^x * (1-p) ^(n-x)]
= 所有的x求和 C(n, x) * (p* e^m)^ x * (1-p)^(n-x)
(就是把 e ^(mx) 写成 (e^m)^x 再和 p ^ x 合并， 组成一个新的 二项式
= (e^m * p + (1 - p))^ n

VAR(Y) = E(Y^2) - E(Y)^2
E(Y^2) = E(e^2mx) =(e^2m * p + (1 - p))^ n
E(Y)^2 = (e^m * p + (1 - p))^ 2n

代入化简就行了。