Question

一道高二数学题 关于数列 有过程的加50哦

因为题目较多，所以加50。。各位就帮我一下吧。。。

在数列{an}中，a1=2，a n+1=4*an-3n+1，n 属于正整数
1）证明数列{an-n}是等比数列；
2）求数列{an}前n和Sn
3）证明不等式S n+1 <= 4*Sn ， 对任意n属于正整数皆成立

Answer 1

1）a(n+1)-n-1=4an-4n=4(an-n)
[a(n+1)-n-1]:(an-n)=4:1
{an-n}是等比数列,k=4
2)因为 a1-1=1
所以 an-n=4^(n-1)
an=4^(n-1)+n
Sn=(4^n-1)/(4-1)+n*(n+1)/2
=(4^n-1)/3+n*(n+1)/2---------分子是(4^n-1),不是4^(n-1)

3)
4Sn-S(n+1)=3Sn-a(n+1)=4^n-1+3n*(n+1)/2-4^n-n-1
=(3n²+n-4)/2

此时可将n=1代入上式，以验证该式的正确性
a1=2,a2=6,S1=2,S2=8
4S1-S2=2*4-8=0=(3*1²+1-4）/2

同时，因为n属于正整数，当那 n=1时,上式有最小值
所以,4*Sn -S (n+1)大于等于0