Question

n阶矩阵有n个特征值（含重根）就一定能对角化吗？什么样的n阶矩阵没有n个特征值？

Answer 1

你好！n阶矩阵有n个特征值并不一定能对角化，能对角化的充分必要条件是有n个线性无关的特征向量，（一个推论是：n阶矩阵有n个不同特征值则一定能对角化）。在复数范围内一定有n个特征值，在实数范围内则不一定，例如下面的二阶矩阵。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！
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追问

请问在算相似矩阵时，AP=PB，为什么一般矩阵对角化算出p1p2p3直接组合就得到P，而实对角矩阵必须将p1p2p3正交单位化才是P
是不是一般矩阵的特征向量不需要正交，而实对称的特征向量必正交

实对称矩阵

追答

实对称阵用p1p2p3不做对角化得出的矩阵也满足AP=PB,并不是一定要正交单位化的。但是正交单位化后得到是正交阵，这种相似在二次型的讨论中会非常有用。
一般矩阵的特征向量一般也无法正交化，实对称阵的对应于不同特征值的特征向量已经是正交了，只有重根对应的多个线性无关特征向量才需要正交。
不同的问题请另开新提问，谢谢！

追问

我是考研的，做的红宝书上面关于一般矩阵求p得到相似矩阵或者对角矩阵都没有对p进行正交处理，也不单位化，甚至答案存在p不正交，也能使ap=bp，但是对于实对称矩阵的题，题目既不要求正交，也不要求单位化，也不要求二次型，为什么解析里面全部做正交单位化？回答完这个问题之后就采纳，谢谢！

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