Question

若一单调数列有一个子列收敛于a,证明该数列收敛于a.怎么做？

Answer 1

不失一般性，不妨设a[n]单调递增，其子列a[n[k]]收敛于a。

任取e>0，由定义，存在K，使得当k>K时|a[n[k]]-a|<e。

则当n>n[K+1]时，必存在m>K使得n≤n[m]，这样

n[K+1]<n≤n[m]

=> a[n[K+1]]≤a[n]≤a[n[m]]

=> a[n[K+1]]-a≤a[n]-a≤a[n[m]]-a

=> |a[n]-a|≤max{|a[n[K+1]]-a|,|a[n[m]]-a|}<e

所以a[n]收敛于a。

1、单调数列（Monotone sequence of numbers）是一类重要的数列。单调数列有:（递）增数列，（递）减数列，严格增数列，严格减数列，分别指项满足。n(a}+} }a}妻a}+i } a}Ga+i } a}>an+i(对所有n)的数列{a}。也有人把它们分别称作不减、不增、增、减数列。严格增数列与严格减数列合称严格单调数列。单调数列也就是定义在自然数集上的单调函数。上述定义与把单调函数的定义用于数列所得到的结果是等价的。

2、一个子数列是从原数列中提取出无穷多个项所得的数列，并且其要求项之间的先后次序不受破坏。例如对于数列  ，数列  都是其子数列，前者是提取出第1、2、4、6项，后者可理解为提取出第1丶2丶4丶6丶12丶17丶19丶23丶120丶121项，注意是可以用不同的取法得到相同的子序列的。而 均不是子数列。

参考资料

百度百科：https://baike.baidu.com/item/%E5%8D%95%E8%B0%83%E6%95%B0%E5%88%97

Answer 2

不失一般性，不妨设a[n]单调递增，其子列a[n[k]]收敛于a。
任取e>0，由定义，存在K，使得当k>K时|a[n[k]]-a|<e。
则当n>n[K+1]时，必存在m>K使得n≤n[m]，这样
n[K+1]<n≤n[m]
=> a[n[K+1]]≤a[n]≤a[n[m]]
=> a[n[K+1]]-a≤a[n]-a≤a[n[m]]-a
=> |a[n]-a|≤max{|a[n[K+1]]-a|,|a[n[m]]-a|}<e
所以a[n]收敛于a。