Question

用定积分求曲边梯形面积，求和时第四部开始不理解。

Answer 1

是这样化简的：
n
∑ 4*(i-1)/n*[1-(i-1)/n]*2/n=
i=1

n
∑ [8/n²*(i-1)-8/n³*(i-1)²]=
i=1

8/n²*[0+1+2+……+(n-1)]+8/n³*[0²+1²+2²+……+(n-1)²]=
8/n²*(n-1)n/2+8/n³*(n-1)n(2n-1)/6
0+1+2+……+(n-1)=(n-1)n/2，估计您能看懂；是不是没看懂最后一步第二个求和式：
0²+1²+2²+……+(n-1)²=(n-1)n(2n-1)/6？
其实，这来源于求前n项自然数的平方和公式：
1²+2²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6
将n替换成n-1即可。
而这个平方和公式，可以有多种方法求取得到，比如三角点阵力矩法，在xoy坐标系原点右侧对称于x轴构造等边三角形点阵，点(1,0)上放一个重量为1的点，然后右侧在直线x=2上对称x轴放两个重量为1的点，三点成等边三角形；接着在直线x=3上对称放3个重量为1的点（中间点自然在点(3,0)上）；……；在直线x=n上对称放n个重量为1的点，所有这些点阵相邻的三个点都构成等边三角形。对坐标原点取重力矩，自然就是1²+2²+……+n²。而这个大等边三角形的重心在点[1+2/3*(n-1),0],也即((2n+1)/3,0)，而总重量为1+2+……+n=n(n+1)/2
故根据各点对某一点的力矩和等于重心对该点的力矩和，可得：
1²+2²+……+n²=n(n+1)/2*(2n+1)/3=n(n+1)(2n+1)/6
这是物理方法，很巧妙吧？当然还有通用的数学方法（也有很多，在此举一例）：
考虑立方差公式：
(n+1)³-n³=3n²+3n+1
n³-(n-1)³=3(n-1)²+3(n-1)+1
(n-1)³-(n-2)³=3(n-2)²+3(n-2)+1
……
3³-2³=3*2²+3*2+1
2³-1³=3*1²+3*1+1
左右分别相加，得
(n+1)³-1=3(1²+2²+……+n²)+3*n(n+1)/2+n
解得：
1²+2²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6