Question

反常积分的无穷限的反常积分

Answer 1

一般地，我们有下列定义
定义6.2 设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续，取t>a,如果极限 当t→+∞时lim∫f(x)dx （t为上限，a为下限）存在，就称此极限值为函数f(x)在无穷区间[a,+∞)上的广义积分.记作∫f(x)dx（+∞为上限，a为下限）
即 ∫f(x)dx（+∞为上限，a为下限）=lim(t→+∞)∫f(x)dx（t为上限，a为下限）　（ 6.24 ） 这时我们说广义积分∫f(x)dx（+∞为上限，a为下限） 存在或收敛；
如果 不存在，就说函数f(x)在无穷区间[a,+∞)的反常积分没有意义或发散
类似的，可以定义 在区间(-∞,b]及取t<b上的广义积分∫f(x)dx（b为上限，-∞为下限）.
（ 6.25 ）
其中∫f(x)dx(b上限，-∞为下限)=lim(t→-∞)f(x)dx （b上限，t下限）　（ 6.26 ）
对于广义积分 ，其收敛的充要条件是： 与 都收敛.
广义积分收敛时，具有常义积分的那些性质与积分方法，如换元法、分部积分法以及牛顿—莱布尼兹公式等，但有时代数和运算要注意，不要随便拆开.在用广义的牛顿—莱布尼兹公式时，无穷远点应取极限.
为方便起见，引入记号
，
这样，若 为 的一个原函数，则
（ 其中 ）
注意：这里 与 是独立变化的，不能合并成 .